VaR 的计算：PDF 课件公式版
根据《金融风险管理3--市场风险的度量.pdf》第 63-95 页重制。公式按 PDF 原始符号转写为 LaTeX，不解 PDF 作业题。
核心：相对 VaR / 绝对 VaR、正态参数法、时间一致性、组合 VaR、成分 VaR。
1. 先统一课件符号
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(W_0\) | 资产组合初始投资额。 |
| \(R\) | 目标投资期收益率。 |
| \(\mu=E(R)\) | 收益率均值。 |
| \(\sigma^2=\operatorname{var}(R)\) | 收益率方差，\(\sigma\) 为标准差。 |
| \(R^*\) | 给定置信度下资产组合的最低收益率。 |
| \(R^{*'}\) | \(R^*\) 标准化后在标准正态分布中的值，是负数。 |
| \(\Delta t\) | 目标投资期，以年为单位。 |
课件采用负分位数写法：\(R^{*'}=-1.65\) 对应 95%，\(R^{*'}=-2.33\) 对应 99%。所以公式里经常出现 \(-R^{*'}\)。
2. VaR 基本计算公式
VaR 是在目标投资期内、给定置信度下的预期最大损失。计算关键是找出 \(W^*\) 或 \(R^*\)。
\[
E(W)=W_0(1+\mu)
\]
\[
W^*=W_0(1+R^*)
\]
相对 VaR
\[
\begin{aligned}
\text{相对VaR}
&=E(W)-W^*\\
&=W_0(1+\mu)-W_0(1+R^*)\\
&=W_0(\mu-R^*)\\
&=W_0\bigl[\mu-(\mu+\sigma R^{*'})\bigr]\\
&=-W_0\sigma R^{*'}
\end{aligned}
\]
绝对 VaR
\[
\begin{aligned}
\text{绝对VaR}
&=W_0-W^*\\
&=W_0-W_0(1+R^*)\\
&=-W_0R^*
\end{aligned}
\]
小案例：若目标期 \(\sigma=2\%\)，95% 置信度下 \(R^{*'}=-1.65\)，相对 VaR 只需写成
\[
-W_0\times 2\%\times(-1.65)
\]
注意这里的负号来自课件的 \(R^{*'}<0\)。
3. 正态分布中确定 \(R^*\)
课件假设金融资产收益率 \(R\) 服从正态分布，并将其标准化。
\[
R\sim N(\mu,\sigma^2),\qquad
R^{*'}=\frac{R^*-\mu}{\sigma}
\]
\[
R^*=\mu+\sigma R^{*'}
\]
| 左尾概率 | 置信度 | 课件分位数 |
|---|---|---|
| 5% | 95% | \(R^{*'}=-1.65\) |
| 3% | 97.5% 附近课件写法 | \(R^{*'}=-1.96\) |
| 1% | 99% | \(R^{*'}=-2.33\) |
小案例：若 \(\mu=0.5\%\)、\(\sigma=3\%\)、99% 置信度，则最低收益率的代入式为
\[
R^*=0.5\%+3\%\times(-2.33)
\]
得到 \(R^*\) 后再放进相对或绝对 VaR 公式。
4. 时间一致性：年参数换持有期参数
课件强调：代入 VaR 前，均值、标准差必须与 VaR 的持有期一致。若年均值、年标准差已知，且收益率独立同分布：
\[
\mu_{\Delta t}=\mu\,\Delta t,\qquad
\sigma_{\Delta t}=\sigma\sqrt{\Delta t}
\]
课件第 80-81 页公式
\[
\text{相对VaR}_{\Delta t}
=-W_0R^{*'}\sigma\sqrt{\Delta t}
\]
\[
\text{绝对VaR}_{\Delta t}
=-W_0\left(R^{*'}\sigma\sqrt{\Delta t}+\mu\Delta t\right)
=W_0\left(-R^{*'}\sigma\sqrt{\Delta t}-\mu\Delta t\right)
\]
\[
99\%\text{相对VaR}
=2.33\,W_0\sigma\sqrt{\Delta t}
\]
同一资产 VaR 换算
\[
VaR(c_2,T_2)=VaR(c_1,T_1)
\frac{-R^{*'}_{c_2}}{-R^{*'}_{c_1}}
\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}
\]
小案例：已知 95% 日相对 VaR，换成 99% 的 5 日相对 VaR：
\[
VaR_{99\%,5日}=VaR_{95\%,1日}\times\frac{2.33}{1.65}\times\sqrt{5}
\]
5. 组合 VaR
课件第 83-85 页：通常情况下，组合 VaR 不等于各资产 VaR 之和。只有完全正相关时才相等。
\[
VaR_p=-W_0R^{*'}\sigma_p
\]
\[
\sigma_p=\sqrt{\omega^\prime\Sigma\omega}
\]
两资产时：
\[
\sigma_p=
\sqrt{\omega_1^2\sigma_1^2+\omega_2^2\sigma_2^2
+2\omega_1\omega_2\sigma_{12}}
\]
\[
\sigma_{12}=\rho_{12}\sigma_1\sigma_2
\]
课件中的矩阵表达
\[
VaR_p=-W_0R^{*'}\sqrt{\omega^\prime\Sigma\omega}
\]
\[
VaR_p=
\bigl(VaR_1,\ldots,VaR_n\bigr)\,
\Gamma\,
\bigl(VaR_1,\ldots,VaR_n\bigr)^\prime
\quad\text{的平方根形式}
\]
小案例：股票和债券组合，先用权重、标准差、相关系数求 \(\sigma_p\)，再代入
\[
VaR_p=-W_0R^{*'}\sigma_p
\]
95% 用 \(R^{*'}=-1.65\)，99% 用 \(R^{*'}=-2.33\)。
检查点：若 \(\rho_{12}<1\)，直接相加单项 VaR 会高估组合 VaR。
6. VaR 分解：成分、边际、增量
成分 VaR
成分 VaR 表示资产 \(i\) 对组合 VaR 的贡献额。
\[
VaR_p=\sum_{i=1}^n C\text{-}VaR_i
\]
边际 VaR
\[
M\text{-}VaR_i=\frac{\partial VaR(w)}{\partial w_i}
\]
\[
C\text{-}VaR_i=w_i\cdot M\text{-}VaR_i
\]
增量 VaR
\[
I\text{-}VaR(dw)=VaR(w+dw)-VaR(w)
\]
正态假设下的边际 VaR 与 \(\beta_i\)
\[
\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(r_i,r_p)}{\sigma_p^2}
\]
\[
M\text{-}VaR_i=\beta_i VaR_p
\]
\[
C\text{-}VaR_i=w_i\beta_iVaR_p
\]
\[
\sum_{i=1}^n w_i\beta_i=1,\qquad
\sum_{i=1}^n C\text{-}VaR_i=VaR_p
\]
小案例：若某资产 \(w_i=0.3,\ \beta_i=1.2\)，组合 VaR 为 \(VaR_p\)，则
\[
C\text{-}VaR_i=0.3\times1.2\times VaR_p
\]
若 \(\beta_i<0\)，该资产的成分 VaR 可能为负，表示对冲风险。
7. PDF 作业套用模板
| 题目 | 套用方法 |
|---|---|
| 题 1 | 用 \(\Delta t=3/12\)、\(R^{*'}=-2.33\)。相对 VaR 用 \(-W_0R^{*'}\sigma\sqrt{\Delta t}\)；若按绝对 VaR，用 \(W_0(-R^{*'}\sigma\sqrt{\Delta t}-\mu\Delta t)\)。 |
| 题 2 | 先 \(95\%\to99\%\)：乘 \(2.33/1.65\)；再日到周：乘 \(\sqrt{5}\)。 |
| 题 3 | 先用 \(\sigma_p=\sqrt{\omega_1^2\sigma_1^2+\omega_2^2\sigma_2^2+2\omega_1\omega_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}\)，再分别代入 95%、99% 的 \(R^{*'}\)。 |
| 题 4 | 把所有组合统一到同一持有期、同一置信度：\(VaR(c_2,T_2)=VaR(c_1,T_1)\frac{-R^{*'}_{c_2}}{-R^{*'}_{c_1}}\sqrt{T_2/T_1}\)，再排序。 |
| 题 5 | 先算组合 \(VaR_p\)，再用 \(C\text{-}VaR_A=w_A\beta_AVaR_p\)、\(C\text{-}VaR_B=w_B\beta_BVaR_p\)、\(C\text{-}VaR_C=w_C\beta_CVaR_p\)。最后检查三者和是否等于 \(VaR_p\)。 |